Schwingungen mit einem Freiheitsgrad berechnen

Das Modell mit einem Freiheitsgrad

Masse, Feder und Dämpfer bilden das einfachste Modell einer Maschinenschwingung. Ein Motor auf seinen Lagern, ein federnd gelagertes Messgerät oder ein einzelnes Fahrzeugrad lassen sich damit näherungsweise untersuchen. Drei Größen bestimmen das System: Masse m, Steifigkeit k und Dämpfungskoeffizient c.

Dämpfungsgrad

Der Dämpfungsgrad entscheidet über das Schwingungsverhalten: ζ = c / (2 × √(k × m)). Unter 1 schwingt das System abklingend, bei genau 1 kehrt es ohne Schwingung schnellstmöglich zurück, über 1 langsam. Der Nenner 2 × √(k × m) ist die kritische Dämpfung.

Erzwungene Schwingung

Bei sinusförmiger Kraft ist die Amplitude die statische Auslenkung mal Vergrößerungsfaktor: X = M × F_0 / k. Der Vergrößerungsfaktor hängt vom Frequenzverhältnis r = f / f_n und vom Dämpfungsgrad ab. Bei Resonanz mit r = 1 gilt M = 1 / (2 × ζ). Bei Dämpfungsgrad 0,1 schwingt das System dort mit dem Fünffachen der statischen Auslenkung.

Schwingungsisolation

Der Übertragungsgrad beschreibt den auf das Fundament übertragenen Kraftanteil. Oberhalb eines Frequenzverhältnisses von √2 fällt er unter 1 und die Isolation beginnt. Deshalb werden Isolatoren so weich gewählt, dass die Eigenfrequenz deutlich unter der Betriebsfrequenz liegt.

Beispiel

Eine Masse von 10 kg an einer Feder mit 4 N/mm und einem Dämpfer mit 40 N·s/m hat eine kritische Dämpfung von 400 N·s/m, einen Dämpfungsgrad von 0,1 und eine Eigenfrequenz von 3,18 Hz. Bei Erregung mit der doppelten Eigenfrequenz (6,37 Hz) und 100 N Kraftamplitude beträgt die Bewegung 8,3 mm und der Übertragungsgrad 0,36. Somit erreichen 36 % der Kraft das Fundament.

Grenzen

Das lineare Modell erfasst die Bewegung in einer Richtung. Reale Maschinen haben sechs Freiheitsgrade, mehrere Eigenfrequenzen und frequenzabhängige Lagereigenschaften. Verwenden Sie die Ergebnisse als erste Näherung.

Häufige Fragen

Wie wird der Dämpfungsgrad berechnet?

Bei 10 kg Masse, 4 N/mm Steifigkeit und 60 N·s/m Dämpfung beträgt der Dämpfungsgrad beispielsweise 0,15 und die gedämpfte Eigenfrequenz 3,147 Hz. Teilen Sie den Dämpfungskoeffizienten durch die kritische Dämpfung. Das lineare Modell zur Vorbemessung erfasst eine Bewegungsrichtung. Mehrere Maschinenschwingungsformen und frequenzabhängige Lagereigenschaften bleiben unberücksichtigt.

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